Fraktalgeometrie

In der Mathematik bezeichnet der Begriff «Fraktal» eine geometrische Figur, die bei beliebiger Vergrösserung eine komplexe Struktur besitzt. Eine zweite Eigenschaft ist die Selbstähnlichkeit. Sie besagt, dass in jeder Vergrösserungsstufe des Fraktals die gleichen Strukturen in Erscheinung treten. Eine fraktale Figur ist das Sierpinski-Dreieck. Es wird konstruiert, indem jede Seite eines gleichseitigen Dreiecks gedrittelt und im mittleren Segment jeweils wiederum ein Dreieck mit einer Kantenlänge von einem Drittel der Originalfigur «angedockt» wird. Diesen Vorgang wiederholt man für jede Teilstrecke des Dreiecks und zwar unendlich. Die entstehende Figur hat einen unendlichen Umfang, aber eine berechenbare Fläche.

Die Grundlagen der Mathematik der Fraktale wurden 1919 gelegt. Der französische Mathematiker Gaston Julia entdeckte, dass eine rationale Funktion bei der Iteration (dem gezielten Einsetzen von Werten in die Funktion) unvorhersagbare chaotische Werte produzierte. Dabei entstanden so genannt selbstähnliche Mengen, die «Julia-Mengen».

Doch erst der französische Mathematiker Benoit B. Mandelbrot konnte in den Siebzigerjahren mittels Computer die ganze Tragweite dokumentieren. Mit der Julia-Funktion gab der Rechner das bekannte «Apfelmännchen» aus, das bei beliebiger Vergrösserung die Selbstähnlichkeit zeigt. Mandelbrot beobachtete, dass viele natürliche Erscheinungen, namentlich geologische Formationen, Wolken, Sternkonstellationen eine fraktale Organisationsform haben. Eine Entdeckung namens «fraktale Transformierte» erlaubt die effektive Bildkomprimierung: 1987 stellte der Mathematiker Michael F. Barnsley fest, dass digitale Fotos fraktale Strukturen enthalten. Diese lassen sich durch fraktale Algorithmen überaus Platz sparend beschreiben. Ein solches Format nennt sich Wavelet.